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<!DOCTYPE html>

<title>Gradientenfeld</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Gradientenfeld</h1>

</header>

</div>

Ein Gradientenfeld oder konservatives Feld ist ein <a href="Vektorfeld" title="Vektorfeld">Vektorfeld</a>, das aus einem <a href="Skalarfeld" title="Skalarfeld">Skalarfeld</a> durch <a href="Differentiation" class="mw-redirect" title="Differentiation">Differentiation</a> nach dem Ort abgeleitet wurde, bzw. – kürzer formuliert – der <a href="Gradient_(Mathematik)" title="Gradient (Mathematik)">Gradient</a> des Skalarfelds. Dieses Vektorfeld hat die Eigenschaft, dass sein <a href="Kurvenintegral" title="Kurvenintegral">Kurvenintegral</a> wegunabhängig ist. Weil die <a href="Rotation_eines_Vektorfeldes" title="Rotation eines Vektorfeldes">Rotation</a> des Feldes immer Null ist, wird es manchmal auch als wirbelfreies Feld bezeichnet<a href="#cite_note-:0-1">[1]</a>.

Zur besseren Abgrenzung zwischen dem Gradienten als mathematischem Operator und dem Resultat seiner Anwendung bezeichnen manche Autoren die Vektoren, aus denen sich Gradientenfelder zusammensetzen, auch als Gradientvektoren,<a href="#cite_note-Grimsehl_1-2">[2]</a> andere dagegen mit Blick auf die Potentiale, aus denen sie sich herleiten, als Potentialvektoren<a href="#cite_note-KEM_547-3">[3]</a>.

Analog verwendet die überwiegende Zahl der Autoren den Begriff Potentialfeld nicht für das skalare Feld des Potentials selbst, sondern das sich aus ihm ableitende Gradientenfeld<a href="#cite_note-4">[4]</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Es gibt mehrere äquivalente Definitionen:

<ol><li>Ein Vektorfeld <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}\colon {\vec {r}}\mapsto {\vec {F}}({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}\colon {\vec {r}}\mapsto {\vec {F}}({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/63b5984ef33b6f462a09157ecf68817dd6494db4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.445ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}\colon {\vec {r}}\mapsto {\vec {F}}({\vec {r}})}" loading="lazy"> heißt Gradientenfeld, wenn es ein <a href="Skalarfeld" title="Skalarfeld">Skalarfeld</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi \colon {\vec {r}}\mapsto \Phi ({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi \colon {\vec {r}}\mapsto \Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd8810215c2aae94ee9b50669b01ba39580d86e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.26ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Phi \colon {\vec {r}}\mapsto \Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy"> gibt, sodass gilt:

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/60f37101ed0ac2555db052befcc4506d286d2a63.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.548ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy"></dd></dl></li>

<li>Das <a href="Kurvenintegral" title="Kurvenintegral">Kurvenintegral</a> ist wegunabhängig: Der Wert des Kurvenintegrals entlang einer beliebigen Kurve <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> innerhalb des Feldes ist nur von ihrem Anfangs- und Endpunkt abhängig, nicht dagegen von ihrer <a href="L%C3%A4nge_(Mathematik)" title="Länge (Mathematik)">Länge</a>.</li>

<li>Kurvenintegrale über eine beliebige geschlossene Randkurve <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> ergeben immer Null:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \oint _{S}{\vec {F}}({\vec {r}})\,\mathrm {d} {\vec {r}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/64b63083c04365891aaf82d1e76966fbe4bbaffe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:14.939ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \oint _{S}{\vec {F}}({\vec {r}})\,\mathrm {d} {\vec {r}}=0}" loading="lazy"></dd></dl></li></ol>

Hier wird mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\nabla }}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\nabla }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65eeb56775c5bb9a9645ca773c8b8f744ca6ce0a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.936ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\nabla }}}" loading="lazy"> der <a href="Gradient_(Mathematik)" title="Gradient (Mathematik)">Gradient</a> bezeichnet. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aed80a2011a3912b028ba32a52dfa57165455f24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi }" loading="lazy"> nennt man das zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef40edff397a115ecdce7d3518001dfcc7f37d9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.771ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}}" loading="lazy"> gehörige <a href="Skalarpotential" title="Skalarpotential">Skalarpotential</a> oder einfach kurz das Potential des Gradientenfelds <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef40edff397a115ecdce7d3518001dfcc7f37d9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.771ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}}" loading="lazy">.

Der Begriff Potential darf nicht mit dem physikalischen Begriff des „<a href="Potential_(Physik)" title="Potential (Physik)">Potentials</a>“ verwechselt werden, mit dem die Fähigkeit eines <a href="Konservative_Kraft" title="Konservative Kraft">konservativen Kraftfelds</a> bezeichnet wird, einen dem Feld ausgesetzten Körper eine Arbeit verrichten zu lassen. Physikalische Potentiale sind dabei stets auch Potentiale im Sinne der Mathematik, wenn damit die entsprechenden Ortsfunktionen (Felder) und nicht nur deren Funktionswerte gemeint sind. Jedoch ist umgekehrt nicht jedes mathematische Potential auch eines im oben genannten physikalischen Sinn, etwa das der <a href="Potentielle_Energie" title="Potentielle Energie">potentiellen Energie</a><a href="#cite_note-5">[5]</a> oder das <a href="Geschwindigkeitspotential" title="Geschwindigkeitspotential">Geschwindigkeitspotential</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

Leitet man das Feld der potentiellen Energie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W_{\mathrm {pot} }({\vec {r}})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W_{\mathrm {pot} }({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bbb1140e1a51ee94da94ccdc62d254866859219a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.834ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle W_{\mathrm {pot} }({\vec {r}})}" loading="lazy">, wie in der nebenstehenden Abb. gezeigt, nach dem Ort <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6aec3c9ce13b53e9e24c98e7cce4212627884c91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}}" loading="lazy"> ab<a href="#cite_note-Grimsehl_1-2">[2]</a>, erhält man den Energie<a href="Gradient_(Mathematik)" title="Gradient (Mathematik)">gradienten</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\nabla }}W_{\mathrm {pot} }({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\nabla }}W_{\mathrm {pot} }({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/460de8acce0900568b0cd233aa6ebbb72733a695.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.77ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\nabla }}W_{\mathrm {pot} }({\vec {r}})}" loading="lazy">, also ein Vektorfeld, dessen einzelne Vektoren dabei in die Richtung der jeweils stärksten Zunahme von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W_{\mathrm {pot} }({\vec {r}})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W_{\mathrm {pot} }({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bbb1140e1a51ee94da94ccdc62d254866859219a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.834ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle W_{\mathrm {pot} }({\vec {r}})}" loading="lazy"> an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6aec3c9ce13b53e9e24c98e7cce4212627884c91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}}" loading="lazy"> zeigen. Dem <a href="Prinzip_des_kleinsten_Zwanges" title="Prinzip des kleinsten Zwanges">Prinzip des kleinsten Zwanges</a> folgend, sind die diesem Gradienten entgegengesetzten Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -{\vec {\nabla }}W_{\mathrm {pot} }({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\vec {\nabla }}W_{\mathrm {pot} }({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0e9d37fe60df9b657f501bf6010bdc0242a2cb1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.578ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle -{\vec {\nabla }}W_{\mathrm {pot} }({\vec {r}})}" loading="lazy"> nichts anderes als die jeweils in Richtung des steilsten Gefälles von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W_{\mathrm {pot} }({\vec {r}})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W_{\mathrm {pot} }({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bbb1140e1a51ee94da94ccdc62d254866859219a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.834ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle W_{\mathrm {pot} }({\vec {r}})}" loading="lazy"> zeigenden, „rücktreibenden“ Kräfte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{G}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{G}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c234c7b1eda81c8c8e64de6b6e8f908a2bbe5b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.019ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{G}}" loading="lazy"> (<a href="Gravitationskraft" class="mw-redirect" title="Gravitationskraft">Gravitationskraft</a>) und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{C}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{C}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a0d80a7bc3ddefd58510ffd70f537295c2a9434.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.976ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{C}}" loading="lazy"> (<a href="Coulombkraft" class="mw-redirect" title="Coulombkraft">Coulombkraft</a>)

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}_{G}=-{\vec {\nabla }}W_{\mathrm {pot} }({\vec {r}})\quad {\text{bzw.}}\quad {\vec {F}}_{C}=-{\vec {\nabla }}W_{\mathrm {pot} }({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e6dbb29cf69af433616801210ec423969798381.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:45.195ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}_{G}=-{\vec {\nabla }}W_{\mathrm {pot} }({\vec {r}})\quad {\text{bzw.}}\quad {\vec {F}}_{C}=-{\vec {\nabla }}W_{\mathrm {pot} }({\vec {r}})}" loading="lazy">.</dd></dl>

Division des Energiegradienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\nabla }}W_{\mathrm {pot} }({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\nabla }}W_{\mathrm {pot} }({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/460de8acce0900568b0cd233aa6ebbb72733a695.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.77ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\nabla }}W_{\mathrm {pot} }({\vec {r}})}" loading="lazy"> durch die Skalare m bzw. q liefert analog die Potentialgradienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\nabla }}V_{G}({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\nabla }}V_{G}({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/46003e6893145be73431d801f3e0fea921163cc2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.847ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\nabla }}V_{G}({\vec {r}})}" loading="lazy"> (<a href="Gravitationspotential" class="mw-redirect" title="Gravitationspotential">Gravitationspotential</a>) und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\nabla }}V_{C}({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\nabla }}V_{C}({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7efe309bcb342e7ab82db6b8154487ec91e2b2d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.805ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\nabla }}V_{C}({\vec {r}})}" loading="lazy"> (<a href="Coulombsches_Gesetz#Coulomb-Potential" title="Coulombsches Gesetz">Coulomb-Potential</a>), deren einzelne Vektoren dabei abermals in Richtung der jeweils stärksten Zunahme des Potentials an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6aec3c9ce13b53e9e24c98e7cce4212627884c91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}}" loading="lazy"> zeigen. Die ihnen entgegengesetzten Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{G}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{G}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d0c5509c5695dfd49e54f9dd7e3e990cc1925760.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.754ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{G}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

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</mrow>

</msub>

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</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}_{G}=-{\vec {\nabla }}V_{G}({\vec {r}})\quad {\text{bzw.}}\quad {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V_{C}({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9cf262b4e23f7767a79964ae2b4058ffbf953f3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.29ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}_{G}=-{\vec {\nabla }}V_{G}({\vec {r}})\quad {\text{bzw.}}\quad {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V_{C}({\vec {r}})}" loading="lazy"></dd></dl>

heißen <a href="Gravitationsbeschleunigung" class="mw-redirect" title="Gravitationsbeschleunigung">Gravitationsbeschleunigung</a> bzw. <a href="Elektrische_Feldst%C3%A4rke" title="Elektrische Feldstärke">elektrische Feldstärke</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vorzeichen">Vorzeichen</h2></div>

Handelt es sich bei dem zugrundeliegenden <a href="Skalarpotential" title="Skalarpotential">Skalarpotential</a> auch um ein Potential im physikalischen Sinne (s. o.), beschreibt es also ein tatsächliches physikalisches <a href="Potential_(Physik)" title="Potential (Physik)">Arbeitsvermögen</a>, wird das sich aus ihm ergebende Gradientenfeld, wie gerade begründet, stets mit einem (der Zunahme des Betrags von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6aec3c9ce13b53e9e24c98e7cce4212627884c91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}}" loading="lazy"> entgegengesetzten) negativem <a href="Vorzeichen_(Zahl)" title="Vorzeichen (Zahl)">Vorzeichen</a> geschrieben. Bei Skalarfeldern dagegen, die sich nur mathematisch wie Potentiale verhalten, etwa dem <a href="Potentialstr%C3%B6mung#Potentialströmung_eines_inkompressiblen_Fluids" title="Potentialströmung">Strömungs- oder Geschwindigkeitspotential</a>, das damit auch keine potentielle Energie repräsentiert, ist das Vorzeichen seines Gradienten undefiniert und wird für gewöhnlich positiv gewählt:

<dl><dd>Kraft - Potentielle Energie: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad {\vec {F}}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}W_{\mathrm {pot} }({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad {\vec {F}}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}W_{\mathrm {pot} }({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/131351c81f1cb8a40acb04cc6aec4411d38161fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:21.802ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \quad {\vec {F}}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}W_{\mathrm {pot} }({\vec {r}})}" loading="lazy"> </dd>

<dd>Elektrische Feldstärke - Coulomb-Potential: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}V_{C}({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

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</mrow>

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<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}V_{C}({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5641abe8610ed022bd510635cd031c180b7f2c66.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.519ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}V_{C}({\vec {r}})}" loading="lazy"> </dd>

<dd>Gravitationsbeschleunigung - Gravitationspotential: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}}_{G}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}V_{G}({\vec {r}})}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

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<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

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</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}_{G}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}V_{G}({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7f899ff24e78caecf1e981fd577e0ce2bece8528.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.54ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}_{G}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}V_{G}({\vec {r}})}" loading="lazy"></dd>

<dd>Geschwindigkeit - Geschwindigkeitspotential: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}({\vec {r}})=+{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}({\vec {r}})=+{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f4effc2ffbc6718c6077728c3cb5dbd56165196.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.761ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}({\vec {r}})=+{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Integrabilitätsbedingung">Integrabilitätsbedingung</h2></div>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a4ffabb41c43db92055a8fd5be74cd7633756a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.778ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> eine offene und <a href="Zusammenh%C3%A4ngender_Raum#Einfach_zusammenhängend" title="Zusammenhängender Raum">einfach zusammenhängende</a> (zum Beispiel <a href="Sterngebiet" title="Sterngebiet">sternförmige</a>) Menge und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c3f0444f82c08e1957605a7b7695774f0e6503e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.098ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> <a href="Differentialrechnung#Ableitung_als_eine_Funktion" title="Differentialrechnung">stetig differenzierbar</a>, so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef40edff397a115ecdce7d3518001dfcc7f37d9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.771ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}}" loading="lazy"> genau dann ein Gradientenfeld, wenn die Integrabilitätsbedingungen

<mfrac>

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</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial F_{j}}{\partial x_{i}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7f66a2a8d881845b5d4bc0936077dc322dbee25.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:12.105ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial F_{j}}{\partial x_{i}}}}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i,j\in \{1,\dots ,n\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i,j\in \{1,\dots ,n\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5533cd8649514ddac7c3144521d076f4f97a908f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.695ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle i,j\in \{1,\dots ,n\}}" loading="lazy"></dd></dl>

auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> erfüllt sind. Die Aussage erhält man als Spezialfall aus dem <a href="Poincar%C3%A9-Lemma" title="Poincaré-Lemma">Poincaré-Lemma</a>.

Im Zwei- und Dreidimensionalen lauten die Integrabilitätsbedingungen:

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}" loading="lazy">: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{2}}}={\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{1}}}}">

<mfrac>

<mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{2}}}={\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{1}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/34304fd5c844241e12ac10fe5b47eb12967474fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:12.505ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{2}}}={\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{1}}}}" loading="lazy"></li>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}" loading="lazy">: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{2}}}={\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{1}}},\ {\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{3}}}={\frac {\partial F_{3}}{\partial x_{1}}}{\text{ und }}{\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{3}}}={\frac {\partial F_{3}}{\partial x_{2}}}}">

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</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{2}}}={\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{1}}},\ {\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{3}}}={\frac {\partial F_{3}}{\partial x_{1}}}{\text{ und }}{\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{3}}}={\frac {\partial F_{3}}{\partial x_{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/697da110dd0f8af2105d22adbd2a73c50889bb8b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:44.167ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{2}}}={\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{1}}},\ {\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{3}}}={\frac {\partial F_{3}}{\partial x_{1}}}{\text{ und }}{\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{3}}}={\frac {\partial F_{3}}{\partial x_{2}}}}" loading="lazy"> <a href="#cite_note-6">[6]</a></li></ul>

Auf Gebieten, die nicht einfach zusammenhängend sind, sind diese Integrabilitätsbedingungen zwar <a href="Notwendige_und_hinreichende_Bedingung" title="Notwendige und hinreichende Bedingung">notwendig</a>, aber im Allgemeinen nicht <a href="Notwendige_und_hinreichende_Bedingung" title="Notwendige und hinreichende Bedingung">hinreichend</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Wirbelfreiheit">Wirbelfreiheit</h2></div>

Die Integrabilitätsbedingung im Zwei- und Dreidimensionalen ist äquivalent zur Rotations- bzw. Wirbelfreiheit. Für alle Gradientenfelder verschwindet damit die <a href="Rotation_eines_Vektorfeldes" title="Rotation eines Vektorfeldes">Rotation</a><a href="#cite_note-KEM_547-3">[3]</a>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {rot} \,{\vec {F}}({\vec {r}})={\vec {0}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0e7a62ea34dea90452a17c11feaa90a8f281c528.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.817ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {rot} \,{\vec {F}}({\vec {r}})={\vec {0}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Es ist wichtig zu beachten, dass die Umkehrung nicht immer gilt. Nicht alle wirbelfreien Felder sind Gradientenfelder. Ist der <a href="Definitionsmenge" title="Definitionsmenge">Definitionsbereich</a> nicht <a href="Zusammenh%C3%A4ngender_Raum#Globale_Zusammenhangsbegriffe" title="Zusammenhängender Raum">einfach zusammenhängend</a>, kann die Rotation des Feldes Null sein, ohne dass es ein Gradientenfeld ist. Die Gleichsetzung von wirbelfreies Feld mit Gradientenfeld ist damit nicht komplett präzise, häufig wird wirbelfreies Feld aber äquivalent zu Gradientenfeld verwendet<a href="#cite_note-:0-1">[1]</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-:0-1">↑ <a href="#cite_ref-:0_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-:0_1-1">b</a> Adalbert Duschek, August Hochrainer: <cite style="font-style:italic">Das quellen- und wirbelfreie Feld (Laplace-Feld)</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Grundzüge der Tensorrechnung in Analytischer Darstellung</cite>. Springer Vienna, Vienna 1961, ISBN 978-3-7091-4454-1, S. 104–135, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-7091-4453-4_12">10.1007/978-3-7091-4453-4_12</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://link.springer.com/10.1007/978-3-7091-4453-4_12">springer.com</a> [abgerufen am 21. Juni 2022]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Gradientenfeld&rft.atitle=Das+quellen-+und+wirbelfreie+Feld+%28Laplace-Feld%29&rft.au=Adalbert+Duschek%2C+August+Hochrainer&rft.btitle=Grundz%C3%BCge+der+Tensorrechnung+in+Analytischer+Darstellung&rft.date=1961&rft.doi=10.1007%2F978-3-7091-4453-4_12&rft.genre=book&rft.isbn=9783709144541&rft.pages=104-135&rft.place=Vienna&rft.pub=Springer+Vienna" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-Grimsehl_1-2">↑ <a href="#cite_ref-Grimsehl_1_2-0">a</a> <a href="#cite_ref-Grimsehl_1_2-1">b</a> Grimsehl: Lehrbuch der Physik, Bd. I. Leipzig 1954, S. 579.

</li>

<li id="cite_note-KEM_547-3">↑ <a href="#cite_ref-KEM_547_3-0">a</a> <a href="#cite_ref-KEM_547_3-1">b</a> W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner: Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 547.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Albert Fetzer, Heiner Fränkel: Mathematik 2: Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge. Springer, Berlin/Heidelberg, S. 322.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner: Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 742.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> K. Königsberger: Analysis 2. 5. Auflage. Springer, 2004, ISBN 3-540-20389-3, <a href="Korollar" title="Korollar">Korollar</a> S. 193.

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-07-22" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Gradientenfeld&oldid=258204472">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>